Сложные проценты — это не что иное, как экспонента или показательная функция. Их также называют “проценты на проценты” или составные проценты (англ. compound interest) и часто пользуются ими в финансовых делах. Обычные проценты тоже используются, но скорости роста между ними существенно отличаются. Обычным процентам соответствует линейная функция. Но в денежных вопросах не используют непрерывности аргумента, как в математическом анализе, здесь лучше говорить о прогрессиях: геометрической и арифметической соответственно.
Обе данные прогрессии — это последовательности чисел, определяемые простейшими рекурсивными формулами. Их можно описать почти без всякой математики, на пальцах.
Вот, например, геометрическая прогрессия:
у нас есть первый член X1;
каждый следующий член последовательности равен предыдущему, умноженному на постоянное число r (знаменатель геометрической прогрессии). А формула показана ниже.
В этой формуле, если r больше единицы, то каждый последующий член будет больше предыдущего, как правило, именно это обычно и требуют от сложных процентов. Геометрическая прогрессия образована произведением друг на друга членов этой последовательности. Чтобы понять, как работает расчет сложного процента, вычислим, к примеру, третий член такой последовательности, начав с первого:
, и так далее.
Арифметическая прогрессия отличается от геометрической только тем, что постоянная (называемая разностью прогрессии) не умножается, а складывается с предыдущим членом для получения последующего.
Содержание
- Основная формула сложных процентовНасколько вырос капитал за месяц, если проценты годовыеИспользование офисных программ для работы со сложными процентами
Основная формула сложных процентов
В следующей формуле мы используем немного другую запись, более удобную для работы с процентами.
где:
-
X – конечный результат накопления
X0 – первоначальное значение, стартовый взнос
r – коэффициент увеличения, процентная ставка
n – число периодов накопления
r — всегда положительное число, на практике обычно небольшое. Что может дать нам эта формула? С ее помощью мы можем рассчитать довольно много вещей, но лучше начать с самого простого.
Пусть банк, которому мы доверяем, предложил сделать вклад под 8,5% годовых. Это означает, что каждый год наш капитал будет увеличиваться на 8,5%.
Некоторые люди наивно полагают (до сих пор есть такие!), что при увеличении вклада речь всегда идет только о первоначальном взносе, за которым идет прямое пропорциональное увеличение, не зависящее от времени (простые проценты). Этим пользуются и жулики. Например, Карл Маркс однажды использовал такую махинацию для обмана миллионов людей, со всеми последствиями, которые мы знаем. Но это другая и большая тема. В действительности банки используют как простые проценты, так и сложные для разных вкладов и кредитов.
На самом деле, наш капитал будет расти быстрее. Пусть мы сделали разовый вклад в 12 000 рублей на 10 лет. Тогда, даже в самом простом калькуляторе мы сможем подсчитать, что у нас получится с восемью с половиной процентами:
r = 1 + 0.085 = 1.085
Затем умножим r само на себя в 10 раз (это можно сделать, нажимая клавиши: 1.085 x2 x2 * 1.085 = x2 = ). Получим число 2,260983442. Это число умножаем на первоначальный взнос и получаем нашу итоговую сумму на счете: 27131 рублей 80 копеек.
Нужно заметить, что в банковском ПО вместо вещественных чисел для денег используют специальные валютные форматы. Это исключает недоразумения и злоупотребления, связанные с погрешностями расчетов.
Источник: